Onvolledig

Ineens was ik gefascineerd door de onvolledigheidstelling van Kurt Gödel. Dat kun je soms hebben. Ik hem wel twintig keer opnieuw gelezen voordat ik hem snapte. Bleek ik ook slechts nog de vereenvoudigde versie te hebben. Ik pakte er een artikel van de UVA bij en dacht dat wel even te kraken. Geen kans. Wiskunde is van een totaal andere orde dan alle andere vakken. Natuurkunde? Simpel. Economie? Eitje. Duits? Niet te doen.

De onvolledigheidsstelling van Gödel is een stelling waarmee je kunt aantonen dat een computer, hoe geavanceerd ook, bepaalde logische stellingen die een mens kan beredeneren, nooit zal kunnen toetsen op waar of onwaar. In taal omgezet (want taal begrijpen wij bloggers) luidt de stelling: deze bewering valt niet te bewijzen. Een computer gaat daar nooit uitkomen en loopt vast in een oneindige reeks van logische afwegingen, maar een mens kan denken: hmmm…als die bewering niet waar is, dan valt de bewering dus wel te bewijzen, waardoor de stelling ineens waar wordt. We hebben hem immers net bewezen. Maar dat kan niet, want we hebben juist gesteld dat de bewering onwaar was. Dus als dat niet kan, moet de bewering waar zijn, en valt hij dus niet te bewijzen. Dus niet alles wat waar is, valt te bewijzen.

Natuurlijk, als ik het uitleg klinkt het ineens alsof elke wiskundige koekoek is, maar in het geval van Gödel was dat niet zo. De rest van de wereld was wel koekoek, maar hij niet. De man werkte samen met Einstein, en eerlijk gezegd snap ik beter waar Einstein het over heeft (of denk dat) dan Gödel. Gödel heeft zelfs wiskundig het bestaan van God aangetoond, alleen heeft hij dat nooit durven publiceren. Gödel is door verhongering aan zijn eind gekomen omdat hij dacht dat zijn eten vergiftigd werd. Het zou mij niet verbazen als hij die stelling ook had bewezen.

Einstein stelde in 1940 al niet meer zoveel voor. Natuurlijk, zijn werk is nog steeds van onschatbare waarde, alleen wat hij tegen die tijd deed, niet meer. Hij gaf ook zelf toe dat hij alleen nog naar Princeton kwam voor zijn wandelingetjes met Gödel. Eergisteren had ik nog nooit van de man gehoord. Nu schrijf ik een stukje over hem alsof ik hem al jaren ken.

godel

Advertenties

9 reacties op “Onvolledig

  1. fialas schreef:

    F was natuurkundige hij las indertijd met plezier en begrip het boek Gödel Escher Bach van Douglas Hofstadter. Hij legde het quasi nonchalant op tafel zodat ik het ook in mijn handen zou nemen.F, begreep veel moeilijke dingen maar mijn onbegip was voor hem niet te begrijpen. Ik dacht alleen maar: Oostenrijk heeft de wereld heel wat rare kostgangers geschonken.

  2. fialas schreef:

    reactie van een geleerde ,aan wiskunde verslaafde schoonzoon. Hij is geen blogger, maar ik had hem jouw stuk doorgestuurd.

    Lang geleden heb ik Gödel, Escher, Bach ook gelezen. Ik herinner me dat ik het wel een beetje pompeus vond, maar de hoofdmoot (en dat ging over de 2 onvolledigheidsstellingen van Gödel) vond ik razend interessant. Zo interessant dat ik een Engels boekje heb gekocht (en gelezen), geschreven voor niet-wiskundigen, waarin stapje voor stapje het bewijs van die stellingen wordt uitgelegd. Ik moet het boekje nog ergens hebben. Inmiddels is er een (door Hofstadter) bewerkte nieuwe versie, die je overal op internet kan vinden (“Gödel’s Proof”). Maar de oorspronkelijke editie (uit 19258) is er ook nog, gratis en legaal, bijvoorbeeld hier: https://archive.org/download/gdelsproof00nage/gdelsproof00nage.pdf.

    Ik was zo gebiologeerd, omdat ik in Delft een college wetenschapsfilosofie had gedaan. Dat werd gegeven door (Joop) Doorman, wiskundige, zoon van Karel (schout bij nacht, Javazee) en toevallig toen ook voorzitter van de VPRO. Dat was het meest opwindende college dat ik ooit heb gevolgd. Het ging eigenlijk helemaal niet over filosofie, maar over wiskunde, meer precies over de grondslagen daarvan. We kregen dus -vermomd als filosofie- wiskunde. Maar dan helemaal van de grond af opgebouwd en volledig axiomatisch. En precies op het punt: hoever je kan komen als je de wiskunde streng axiomatisch en strikt logisch opbouwt, gooit Gödel roet in het eten.

    Dat deed hij in 1931, 25 jaar oud. Dat was 11 jaar nadat Hilbert (toen één van de meest vooraanstaande wiskundigen) zijn programma (eigenlijk een voorstel van aanpak) had gepresenteerd voor een strikt formele, logische en axiomatische aanpak van de wiskunde. Binnen die wiskunde zou -in principe- ieder wiskundige uitspraak bewijsbaar zijn, of juist falsifieerbaar. Wiskunde op die grondslagen zou volledig zijn: van elke -syntactisch correcte- wiskundige uitspraak zou in beginsel moeten kunnen worden bewezen of die waar is of onwaar. En die wiskunde zou ook consistent zijn: je kunt als je de regels van die wiskunde volgt, geen “ware” uitspraken construeren die elkaar uitsluiten. Neem bijvoorbeeld de Euclidische meetkunde: je wilt niet dat je binnen die meetkunde kunt bewijzen dat 2 lijnen evenwijdig zijn, en ook loodrecht op elkaar staan. Als je dat wel zou kunnen, is er iets mis met de Euclidische meetkunde.

    Hilbert stelt voor om dit programma toe te passen op de meest eenvoudige formele wiskunde die er toen was: de axiomatische getallenleer die sinds het eind van de 18e19e, begin 19e20e eeuw was ontwikkeld. De rekenregels die je op de basisschool leert, zijn -bijvoorbeeld- onderdeel van die getallenleer, maar ook de reële getallen van het vwo, zoals wortel 2, pi etc.

    Gödel laat zien dat Hilbert’s programma gedoemd is te mislukken. Opmerkelijk genoeg dringt het niet meteen door in de wiskundige wereld wat er aan de hand is. Maar geleidelijk aan wordt het duidelijk dat er echt iets fundamenteel mis is met de formele wiskunde. Vooralsnog houdt men het er op dat er mee valt te leven: er was geen belangrijk wiskundig probleem bekend, dat in de Gödel-categorie valt. Maar dat verandert in 1961. Dan laat een Amerikaanse wiskundige zien dat één van de grote vraagstukken uit de klassieke verzamelingenleer binnen de axiomatische getallenleer niet is te bewijzen. In 1940 had Gödel al laten zien dat ook het tegendeel niet kan worden bewezen.

    Het gaat om de zogeheten continuümhypothese van Georg Cantor over de rangorde van oneindige verzamelingen. Een oneindige verzameling is bijvoorbeeld de verzameling “natuurlijke” getallen 1,2,3,… en zo door). En met die oneindige verzamelingen (en ook continuümhypothese) had ik in dat filosofiecollege van Doorman kennis gemaakt. Dat was het meest intrigerende onderwerp uit die colleges. Maar noch de juistheid, noch de onjuistheid van de continuümhypothese kan dus worden bewezen, met dank aan Gödel. Het is -binnen stelsel van de axiomatische getallenleer- onbewijsbaar. Sterker nog: je kunt 2 volledig consistente wiskundige stelsels ontwerpen: één waarin de continuümhypothese als axioma wordt aangenomen, en één waarbij het tegendeel, de onjuistheid van de continuümhypothese, wordt aangenomen. Zo had Euclides de wiskunde niet bedoeld.

    Met Gödel is het niet zo goed afgelopen. In 1940 ging hij naar Princeton (Institute for Advanced Study, waar Robert Dijkgraaf nu directeur van is). Zie Wikipedia: Gedurende zijn hele leven had Gödel periodiek last van geestelijke instabiliteit en ziektes waarvoor hij soms zelfs tijdelijk in psychiatrische sanatoria werd opgenomen. Op het eind van zijn leven verergerde dit tot de ontwikkeling van paranoide waandenkbeelden. Zo geloofde hij vast in een samenzwering die sommige werken van de 17e-eeuwse wiskundige en filosoof Gottfried Leibniz wilde verdonkeremanen. Ook had Gödel o.a. een obsessieve angst om vergiftigd te worden; hij was bang dat er giftige gassen uit zijn koelkast ontsnapten en wilde pas eten als zijn echtgenote Adele het eten eerst geproefd had. Eind 1977 werd Adele zes maanden in het ziekenhuis opgenomen en kon dus Gödels voedsel niet voorproeven. Tijdens haar afwezigheid weigerde hij te eten en hongerde hij uiteindelijk zichzelf dood. Toen hij overleed woog hij nog maar 30 kg. Zijn overlijdensverklaring vermeldde dat hij op 14 januari 1978 in het ziekenhuis van Princeton overleed aan “ondervoeding en uitputting ten gevolge van een persoonlijkheidsstoornis”.

  3. fialas schreef:

    nou jij weer…….

    • Mack schreef:

      Leuk dat je het aan iemand hebt voorgelegd die het echt begrijpt. Vroeger begreep ik helemaal niet hoe moeilijk wiskunde nu helemaal kon worden. Gewoon omdat ik niet inzag hoever wiskunde reikt. Maar nu begrijp ik zelf dat filosofie en wiskunde veel raakvlakken hebben.

  4. Y. schreef:

    Wist je al dat Jessai een reïncarnatie is van Einstein? Zelfde interesses, zelfde dag geboren en het gerucht gaat dat Einstein ook dyslectisch was. Het vervelende is dat ik daardoor ook zijn sterfdatum weet. 😉

Zegt u het maar

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit / Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit / Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit / Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit / Bijwerken )

Verbinden met %s